Weeeeno, hoy fui al despacho de Iñigo a relizarle preguntas en mi repaso de cálculo con el fin de entender mediante una visión intuitíva las cosas de cálculo (pobre Iñigo, debe estar hasta las narices de mi :P).
Hace unos días aprendí (y es que antes no lo sabía) que el Diferencial de una función se define como una APLICACIÓN de la siguiente manera:
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<span style="font-family: Courier New,Courier,Monospace;"><em>d</em>f(a) : <strong>R</strong> -> <strong>R</strong></span><span style="font-family: Courier New;"><strong> </strong>x -> f'(a)·x</span> |
y (aquí viene la clave de todo), suele denotarse dx a la variable de la aplicación lineal, ¡¡ya lo tengo!! -me dije- : entonces, df(x)(dx) = f'(x)·dx , comunmente df(x) = f'(x)·dx y por lo tanto, df(x)/dx = f'(x) !!! :)
La cuestión es que llegado a una parte de integración (que no os transcribo porque sería chungo de leer) de los teoremas del cambio de variable me preguntaba porqué había una sustitución de los índices de integración por el cambio de variable, y es que no dudo de que funcione, pero si yo tuviera que deducirlo no lo conseguiría… y también le pregunté por el segundo teorema y resulta que había pasado por alto el corolario de la derivada de la función inversa, que viene dado por (caso un poco particular):
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<span style="font-family: Courier New,Courier,Monospace;">Dado f: <strong>R</strong> -> <strong>R</strong></span> inyectiva y derivable<span style="font-family: Courier New,Courier,Monospace;"> <strong>x</strong> -> <strong>y</strong></span><strong> </strong><span style="font-family: Courier New,Courier,Monospace;"> (f^-1)'(y) = 1 / f'(x)</span> |
y a dicho resultado se llega partiendo de : (f^-1 o f)(x) = x y al derivar:
(f^-1)'(f(x)) · f'(x) = 1 y se pasa la derivada al segundo miembro y queda lo anterior
(ya que f(x)=y)
Al final me estuve casi una hora, que se me pasó volando… y bueno, había dejado a mi novia en la cafetería, y no llevé le movil ni nada porque pensé que tardaría poco y jopis… pobrecilla, qué mal novio soy :_( que se me fue la olla con eso del cálculo… :P