Hoy fui a preguntarle a mi profesor de cálculo una duda sobre el primer teorema del cambio de variable en integración, y es que si haces el cambio g(x) = t en:
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integral (a,b, f(g(x)) g'(x) dx ) = integral (g(a), g(b), f(t) dt) |
no entiendo porqué se cambian los índices de a a g(a) y de b a g(b), y su explicación se basó en un simple ejemplo que me dejó totalmente convencido y me quitó un gran peso de encima :)
Sea T temperatura y t tiempo. Entonces, la pérdida de temperatura con respecto al tiempo es proporcional a las diferencias de temperatura, supongamos temperatura ambiente de 20 grados…
dT / dt = K (T-20) y pasamos las T’s a la izquierda y la t a la derecha e integramos; supongamos que la igualdad se satisface al integrar la temperatura entre 36 y 38 grados, y el tiempo de 0 a 15 minutos. Es PURA ficción ¿eh? :
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integral ( 36, 38, dT/(T-20) ) = integral(0,15, K dt) |
Y con esto me ejemplificó que al cambiar de variable tienen que cambiar los índices de integración, y que, por supuesto, dichos índices están relacionados. En el ejemplo la relación sería algo como (es un supuesto con fines docentes ¿eh?):
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T = K e ^ (t-20) |
o bien, para poder determinar los índices de t cuando tenemos los valores de T, aplicaríamos logaritmos y despejaríamos t en función de T. En el caso del teorema del cambio de variable, la relación es g(x)=t, por eso, para pasar de x a t, aplicamos la función y listo :)
Viva!!! =)