Resulta que me he encontrado con un problema en Firefox: la sesión está compartida por todas las ventanas y pestañas. Hay muchos ejemplos de los problemas que esto conlleva, como por ejemplo no poder tener dos ventanas de gmail abiertas con distintos usuarios.
No soy el único que desea un comportamiento parecido al Internet Explorer con respecto a las sesiones:

http://forums.mozillazine.org/viewtopic.php?t=211311
http://forums.mozillazine.org/viewtopic.php?f=38&t=725675
http://forums.mozillazine.org/viewtopic.php?f=38&t=185983
http://forums.mozillazine.org/viewtopic.php?t=223531
http://tech.slashdot.org/article.pl?sid=05/02/01/018203

El “bug” porque los de Mozilla lo tratan como una petición de una nueva característica:
https://bugzilla.mozilla.org/show_bug.cgi?id=117222

Personalmente creo que no es ni bug ni petición de funcionalidad, sino un mal análisis sobre el funcionamiento de las sesiones.

Una solución es instalarse la extensión CookiePie.
Y un enlace a un vídeo sobre CookiePie donde se ve el funcionamiento.
De todos modos repito que mejor sería un funcionamiento parecido al IE (por mucho asco que de el IE, concretamente esto lo hace mejor).